حل تمرین 1 و 2 صفحه 70 ریاضی و آمار دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ رسم نمودار سهمی‌های درجه دوم صفحه 70 ریاضی دهم انسانی سلام دانش‌آموزان! برای رسم نمودار یک **سهمی (تابع درجه دوم)**، بهترین روش پیدا کردن **رأس سهمی** است که نقطه تقارن نمودار است. ### ۱) $\mathbf{y = x^2 - 2x + 1}$ (اتحاد مربع کامل) 1. **رأس سهمی:** این معادله یک **اتحاد مربع تفاضل** است: $\mathbf{y = (x - 1)^2}$. * $\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{-2}{2(1)} = 1}$. $\mathbf{y_{\text{رأس}} = (1)^2 - 2(1) + 1 = 0}$. * **رأس:** $\mathbf{(1, 0)}$. 2. **جهت:** $\mathbf{a = 1}$ (مثبت)، پس دهانه **رو به بالا** است. 3. **نقاط کمکی:** * $\mathbf{x=0 \Rightarrow y=1}$. نقطه: $\mathbf{(0, 1)}$ * $\mathbf{x=2 \Rightarrow y=1}$. (متقارن $\mathbf{x=0}$ نسبت به $\mathbf{x=1}$) 4. **رسم:** نموداری به شکل $\mathbf{U}$ که محور $\mathbf{x}$ را در $\mathbf{(1, 0)}$ لمس می‌کند. --- ### ۲) $\mathbf{y = -(x - 1)^2 + 1}$ (فرم رأس) 1. **رأس سهمی:** با توجه به فرم $\mathbf{y = a(x - h)^2 + k}$، رأس $\mathbf{(h, k)}$ است. * **رأس:** $\mathbf{(1, 1)}$. 2. **جهت:** $\mathbf{a = -1}$ (منفی)، پس دهانه **رو به پایین** است. 3. **نقاط کمکی:** * $\mathbf{x=0 \Rightarrow y = -(0 - 1)^2 + 1 = 0}$. نقطه: $\mathbf{(0, 0)}$ * $\mathbf{x=2 \Rightarrow y = -(2 - 1)^2 + 1 = 0}$. (متقارن $\mathbf{x=0}$ نسبت به $\mathbf{x=1}$) 4. **رسم:** نموداری به شکل $\mathbf{\cap}$ که محور $\mathbf{x}$ را در $\mathbf{(0, 0)}$ و $\mathbf{(2, 0)}$ قطع می‌کند و رأس آن $\mathbf{(1, 1)}$ است. --- ### ۳) $\mathbf{y = x^2 + 4x + 1}$ (فرمول $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$) 1. **رأس سهمی:** $\mathbf{a = 1, b = 4}$. * $\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2}$. * $\mathbf{y_{\text{رأس}} = (-2)^2 + 4(-2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3}$. * **رأس:** $\mathbf{(-2, -3)}$. 2. **جهت:** $\mathbf{a = 1}$ (مثبت)، پس دهانه **رو به بالا** است. 3. **نقاط کمکی:** * $\mathbf{x=0 \Rightarrow y=1}$. نقطه: $\mathbf{(0, 1)}$ (عرض از مبدأ) * $\mathbf{x=-4 \Rightarrow y=(-4)^2 + 4(-4) + 1 = 1}$. (متقارن $\mathbf{x=0}$ نسبت به $\mathbf{x=-2}$) 4. **رسم:** نموداری به شکل $\mathbf{U}$ که رأس آن در $\mathbf{(-2, -3)}$ و محور $\mathbf{y}$ را در $\mathbf{(0, 1)}$ قطع می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ محاسبه بیشینه سود از تابع درجه دوم صفحه 70 ریاضی دهم انسانی **سود ($athbf{P}$)** همواره از **درآمد ($athbf{R}$)** منهای **هزینه ($athbf{C}$)** به دست می‌آید. این مسئله یک مثال مهم برای یافتن **نقطه بیشینه** در توابع درجه دوم است. ### گام ۱: تعیین ضابطه تابع سود ($athbf{P(x)}$) $$\mathbf{P(x) = R(x) - C(x)}$$ $$\mathbf{P(x) = (-\frac{1}{2}x^2 + 30x) - (18x + 40)}$$ $$\mathbf{P(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 30x - 18x - 40}$$ $$\mathbf{P(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 12x - 40}$$ ### گام ۲: یافتن تعداد کالا برای بیشترین سود ($athbf{x_{\text{رأس}}}$) تابع سود ($athbf{P(x)}$) یک سهمی است که چون $\mathbf{a = -\frac{1}{2}}$ (منفی) است، دهانه آن رو به پایین است و دارای یک **نقطه بیشینه** (ماکسیمم) است که همان رأس سهمی است. * **ضرایب:** $\mathbf{a = -\frac{1}{2}}$، $\mathbf{b = 12}$، $\mathbf{c = -40}$ * **محاسبه $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-\frac{1}{2})} = -\frac{12}{-1} = 12}$$ **نتیجه:** شرکت باید $\mathbf{12}$ واحد کالا تولید کند تا بیشترین سود را کسب نماید. ### گام ۳: محاسبه بیشترین سود ($athbf{y_{\text{رأس}}}$) بیشترین سود برابر با مقدار تابع سود در $\mathbf{x = 12}$ است: $$\mathbf{P(12) = -\frac{1}{2}(12)^2 + 12(12) - 40}$$ $$\mathbf{P(12) = -\frac{1}{2}(144) + 144 - 40}$$ $$\mathbf{P(12) = -72 + 144 - 40}$$ $$\mathbf{P(12) = 72 - 40 = 32}$$ **پاسخ نهایی:** ماکسیمم مقدار سود برابر $\mathbf{32}$ واحد پولی است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ یافتن تابع مساحت بیشینه مستطیل با محیط ثابت صفحه 70 ریاضی دهم انسانی این مسئله، تکرار همان مفهوم **ماکسیمم‌سازی تابع درجه دوم** است که در مورد مستطیل با محیط ثابت به کار می‌رود. ### گام ۱: تعیین ضابطه تابع مساحت ($athbf{S(x)}$) 1. **رابطه محیط:** $\mathbf{24}$ متر. $\mathbf{2(x + y) = 24 \Rightarrow x + y = 12}$ 2. **ضلع دیگر ($athbf{y}$):** $\mathbf{y = 12 - x}$ 3. **تابع مساحت ($athbf{S(x)}$):** $\mathbf{\text{طول} \times \text{عرض}}$ $$\mathbf{S(x) = x(12 - x) = 12x - x^2}$$ $$\mathbf{S(x) = -x^2 + 12x}$$ ### گام ۲: یافتن مقدار $\mathbf{x}$ برای ماکسیمم مساحت ($athbf{x_{\text{رأس}}}$) تابع مساحت یک سهمی رو به پایین است ($athbf{a = -1}$). بیشترین مساحت در **رأس سهمی** اتفاق می‌افتد. * **ضرایب:** $\mathbf{a = -1}$، $\mathbf{b = 12}$، $\mathbf{c = 0}$ * **محاسبه $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-1)} = 6}$$ ### گام ۳: محاسبه بیشترین مساحت ($athbf{S_{\text{ماکسیمم}}}$) $$\mathbf{S(6) = -(6)^2 + 12(6) = -36 + 72 = 36}$$ **نتیجه:** بیشترین مساحت $\mathbf{36}$ مترمربع است که در آن $\mathbf{x=6}$ و $\mathbf{y = 12 - 6 = 6}$ (یعنی مستطیل تبدیل به **مربع** می‌شود). ### گام ۴: رسم نمودار * **رأس:** $\mathbf{(6, 36)}$ * **ریشه‌ها ($\mathbf{S(x)=0}$):** $\mathbf{-x^2 + 12x = 0 \Rightarrow x(-x + 12) = 0 \Rightarrow x=0 \text{ یا } x=12}$ نمودار یک سهمی رو به پایین است که محور $\mathbf{x}$ را در $\mathbf{0}$ و $\mathbf{12}$ قطع می‌کند و در $\mathbf{(6, 36)}$ به بیشترین ارتفاع خود می‌رسد. **پاسخ نهایی:** مساحت مستطیل به ازای $\mathbf{x = 6}$ ماکسیمم می‌شود. (این مستطیل یک مربع به ضلع ۶ است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ ماکسیمم‌سازی حاصل ضرب با جمع ثابت صفحه 70 ریاضی دهم انسانی هدف این تمرین، تبدیل یک حاصل‌ضرب ($\mathbf{y = xa}$) به یک تابع درجه دوم و سپس یافتن نقطه‌ی بیشینه آن است. ### گام ۱: تبدیل حاصل ضرب به تابع یک متغیره از رابطه‌ی $\mathbf{2x + a = 10}$ استفاده می‌کنیم تا $\mathbf{a}$ را بر حسب $\mathbf{x}$ بنویسیم: $$\mathbf{a = 10 - 2x}$$ سپس، $\mathbf{a}$ را در تابع $\mathbf{y = xa}$ جایگذاری می‌کنیم تا $\mathbf{y}$ فقط تابعی از $\mathbf{x}$ شود ($athbf{f(x)}$): $$\mathbf{f(x) = x(10 - 2x)}$$ $$\mathbf{f(x) = 10x - 2x^2}$$ $$\mathbf{f(x) = -2x^2 + 10x}$$ ### گام ۲: یافتن مقدار $\mathbf{x}$ برای ماکسیمم مقدار ($athbf{x_{\text{رأس}}}$) این تابع یک سهمی رو به پایین است ($athbf{a = -2}$)، پس دارای ماکسیمم است. * **ضرایب:** $\mathbf{a = -2}$، $\mathbf{b = 10}$، $\mathbf{c = 0}$ * **محاسبه $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-2)} = -\frac{10}{-4} = \frac{5}{2}}$$ $$\mathbf{x = 2.5}$$ ### گام ۳: یافتن مقدار $\mathbf{a}$ مقدار $\mathbf{x = 2.5}$ را در رابطه‌ی اولیه $\mathbf{a = 10 - 2x}$ جایگذاری می‌کنیم: $$\mathbf{a = 10 - 2(2.5) = 10 - 5}$$ $$\mathbf{a = 5}$$ ### گام ۴: محاسبه ماکسیمم مقدار $\mathbf{y}$ $$\mathbf{y_{\text{ماکسیمم}} = x \times a = (2.5) \times (5) = 12.5}$$ **پاسخ نهایی:** مقادیر $\mathbf{x = 2.5}$ و $\mathbf{a = 5}$ باعث می‌شوند حاصل ضرب $\mathbf{y = xa}$ ماکسیمم شود. (ماکسیمم مقدار $\mathbf{12.5}$ است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ بیشترین سود روزانه از تابع درجه دوم صفحه 70 ریاضی دهم انسانی این مسئله نیز یک کاربرد مستقیم از **توابع درجه دوم** در اقتصاد است. بیشترین سود همیشه در **رأس سهمی** اتفاق می‌افتد. ### الف) تعیین تابع سود ($athbf{P(x)}$) **گام ۱: تعیین تابع درآمد ($athbf{R(x)}$):** قیمت فروش هر لامپ $\mathbf{200}$ تومان است. $$\mathbf{\text{درآمد } R(x) = 200x}$$ **گام ۲: تعیین تابع سود ($athbf{P(x)}$):** $\mathbf{\text{سود } = \text{درآمد} - \text{هزینه}}$ $$\mathbf{P(x) = R(x) - C(x)}$$ $$\mathbf{P(x) = 200x - (x^2 + 40x + 100)}$$ $$\mathbf{P(x) = 200x - x^2 - 40x - 100}$$ $$\mathbf{P(x) = -x^2 + 160x - 100}$$ **تابع سود:** $\mathbf{P(x) = -x^2 + 160x - 100}$ ### ب) تعداد لامپ برای بیشترین سود ($athbf{x_{\text{رأس}}}$) تابع سود یک سهمی رو به پایین است ($athbf{a = -1}$). بیشترین سود در $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$ اتفاق می‌افتد. * **ضرایب:** $\mathbf{a = -1}$، $\mathbf{b = 160}$، $\mathbf{c = -100}$ * **محاسبه $\mathbf{x_{\text{رأس}}}$:** $$\mathbf{x_{\text{رأس}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{160}{2(-1)} = 80}$$ **پاسخ:** تولیدی باید $\mathbf{80}$ لامپ در روز تولید کند تا بیشترین سود را داشته باشد. ### پ) بیشترین سود روزانه ($athbf{P_{\text{ماکسیمم}}}$) مقدار بیشترین سود برابر است با مقدار تابع سود در $\mathbf{x = 80}$: $$\mathbf{P(80) = -(80)^2 + 160(80) - 100}$$ $$\mathbf{P(80) = -6400 + 12800 - 100}$$ $$\mathbf{P(80) = 6400 - 100 = 6300}$$ **پاسخ نهایی:** بیشترین سود روزانه این کارگاه $\mathbf{6300}$ تومان است.